在深度学习领域，自适应优化器（如Adam、RMSprop）的成功证明了为网络中每个参数赋予独立学习率的巨大优势。这些方法通常依赖于梯度的一阶或二阶矩来判断参数的更新状态。我提出了一个不同的思路：能否通过一个更具“几何意义”的量来衡量参数的稳定性，并以此指导学习率的调整？

这个猜想的核心是利用狄利克雷能量 (Dirichlet Energy)。

1. 核心构想：基于能量的自适应学习率

我的方案可以分解为以下几个步骤：

1) 权重状态向量

我们为网络中的每一个权重 $w$ 维护一个记录其最近 $k$ 次历史值的状态向量 $S_w$。

S_w = [w_{t-k+1}, w_{t-k+2}, \dots, w_t]^T

我们可以使用一个 $(k-1) \times k$ 的差分矩阵 (Difference Matrix) $D$ 来形式化这个计算过程。

D = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \end{pmatrix}

将这个矩阵乘以状态向量 $S_w$，我们就能得到一个包含了所有连续权重之间差异的向量。那么，狄利克雷能量 $E(S_w)$ 就被定义为这个差分向量的欧几里得范数的平方，即 $| D S_w |^2$。

E(S_w) = \| D S_w \|^2 = \sum_{i=t-k+1}^{t-1} (w_{i+1} - w_i)^2

这个能量值衡量了权重 $w$ 在近期更新中的“抖动”或“震荡”程度。能量越高，代表震荡越剧烈；能量越低，代表越趋于稳定。

这是猜想的初始核心：一个参数的能量越高，意味着它距离稳定状态越远，我们因此应该给予它一个更高的学习率 $\eta_w$ 来加速探索。反之，能量低的参数则应降低学习率进行微调。

E(S_w) \uparrow \implies \eta_w \uparrow \quad \text{and} \quad E(S_w) \downarrow \implies \eta_w \downarrow

这个构想在理论上似乎可行，因为它从一个全新的几何视角来理解优化过程。然而，它也面临着严峻的挑战。

最核心的挑战在于，高能量（高震荡）通常被认为是学习率过高的信号。主流优化器如Adam会通过累积梯度方差来降低这类参数的有效学习率，以抑制震荡。而我们的初始猜想反其道而行之，这可能会加剧不稳定性。

考虑到上述挑战，一个更合理的方案或许是反转初始逻辑：利用狄利克雷能量来抑制震荡，而不是放大它。

新机制：能量越高，代表参数越不稳定，因此我们应该降低其学习率，以获得更稳健的收敛。

我们可以设计一个类似RMSprop或Adam的更新规则。假设 $\eta_0$ 是全局基础学习率，$\epsilon$ 是一个防止除零的极小常数，那么每个权重 $w$ 的学习率 $\eta_w$ 可以被设定为：

\eta_w = \frac{\eta_0}{\sqrt{E(S_w)} + \epsilon}

在这个修正的框架下，权重更新规则变为：

w_{t+1} = w_t - \frac{\eta_0}{\sqrt{E(S_w)} + \epsilon} \cdot \frac{\partial L}{\partial w_t}

这个修正后的方案保留了使用狄利克雷能量作为几何稳定性度量的初衷，同时使其行为与已被验证成功的优化原则相符。虽然它仍然面临巨大的计算开销问题，但作为一个理论模型，它为探索超越梯度矩的优化器提供了有价值的思路。